▮ Module géométrie vectorielle
Le produit scalaire,
entre angle et projection
Une seule opération qui mesure à la fois l'angle entre deux vecteurs et la projection de l'un sur l'autre. Déplacez les vecteurs dans le laboratoire ci-contre pour voir les trois définitions converger en temps réel.
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos θ
= x₁x₂ + y₁y₂ = ‖u⃗‖ × proju⃗(v⃗)
Trois définitions, un seul nombre
Le produit scalaire se définit de trois façons équivalentes. Le laboratoire ci-dessus montre qu'elles donnent toujours le même résultat.
Par projection
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × proju⃗(v⃗)
La norme de u⃗ multipliée par la projection orthogonale de v⃗ sur la droite dirigée par u⃗ (valeur algébrique).
u⃗·v⃗ = OA × OH
Par l'angle
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos θ
Où θ est l'angle orienté entre les deux vecteurs. Le signe dépend uniquement de cos θ.
cos θ = (u⃗·v⃗) / (‖u⃗‖‖v⃗‖)
En coordonnées
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x₁;y₁) et v⃗(x₂;y₂) :
u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
Télémétrie en temps réel
Manipulez les vecteurs dans le laboratoire : toutes les valeurs se mettent à jour instantanément. Observez comment le signe du produit scalaire reflète l'angle.
Produit scalaire
Angle droit (θ = 90°)
Coordonnées & normes
Règle du signe
Simulateur d'entraînement
Appliquez les trois définitions. Répondez puis vérifiez : la correction s'affiche instantanément.
Mission 1
Dans un repère orthonormé, u⃗(3 ; −2) et v⃗(4 ; 5). Calculez u⃗·v⃗.
Mission 2
Les vecteurs a⃗(6 ; −4) et b⃗(2 ; 3) sont-ils orthogonaux ?
Cartographie finale : à retenir
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel qui encode à la fois leurs normes et l'angle entre eux. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖‖v⃗‖cos θ = x₁x₂+y₁y₂